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gheagabry.
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. « La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora;
l'altro è la divisione di un segmento
secondo il rapporto medio ed estremo.
Possiamo paragonare il primo a una certa quantità d'oro,
e definire il secondo una pietra preziosa. »
(Keplero)LA SEZIONE AUREA
La sezione aurea è un numero irrazionale, cioè un numero che ha infinite cifre dopo la virgola che non presentano alcuna struttura ordinata (periodica). Il numero 0.333333…, pur avendo infinite cifre dopo la virgola, non è un numero irrazionale perché presenta una struttura periodica: conoscendo un numero finito di cifre si possono prevedere le successive e dunque ricostruire e conoscere tutto il numero. Per i numeri irrazionali ciò non è possibile: per conoscere esattamente un numero come \Phi occorre calcolare una per una ognuna delle cifre che seguono la virgola ed essendo queste infinite il tempo necessario a fare ciò è un tempo infinito. Il valore numerico di \Phi, approssimato alla nona cifra dopo la virgola, è 1.618033989.
Sia le sue proprietà artistiche e matematiche, che la frequente apparizione in svariati contesti naturali e culturali, apparentemente non collegati tra loro, hanno suscitato per secoli nella mente dell'uomo la conferma dell'esistenza di un rapporto tra macrocosmo e microcosmo, tra Dio e l'uomo, l'universo e la natura: un rapporto tra il tutto e la parte che si ripeteva all'infinito tra la stessa parte più grande e la più piccola, e così di seguito attraverso ulteriori suddivisioni. Diversi filosofi ed artisti sono arrivati a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia, spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell'ambiente antropico quale "canone di bellezza"....nella storia...
A Babilonia, alcune tavolette, riportanti calcoli computazionali, testimoniano che i Babilonesi avevano conoscenza sia della matematica che della geometria tali da poter ottenere buone approssimazioni dell'area del pentagono e perfino di pi greco. Anche se mancano prove sufficienti, gli studiosi, fra cui Michael Scheneider e Helen Hedian, affermano la sua presenza su steli e bassorilievi come una stele babilonese, una raffigurazione di una divinità alata del IX secolo a.C., la "leonessa morente" di Ninive (600 a.C.).
Per gli antichi Egizi, il rapporto aureo lo si ritrova nell'Osireion, nella Tomba di Petosiri e nella piramide di Cheope.
L' Osireion è monumento funerario del re Seti I (XIX dinastia), riportato alla luce nel 1901 da Flinders Petrie. Robert Lawlor asserisce che l'architettura della stanza più interna sarebbe basata su una mistica geometria pentagonale contenente il rapporto aureo, ravvisabile in una serie di intrecci geometrici.
La tomba di Petosiri, sommo sacerdote di Thot, è stata rinvenuta da Gustave Lefebvre nei primi anni venti, e risale al III secolo a.C., quando era già si aveva la conoscenza della sezione aurea da parte dei Greci. In questo caso il rapporto aureo sarebbe riscontrato in un bassorilievo raffigurante l'imbalsamazione del sacerdote.
La prima chiara definizione di \Phi compare nell’opera fondamentale Gli Elementi di Euclide. Euclide visse intorno al 300 a.c. e con lo scritto è stato il fondatore della geometria. Nel periodo greco, la definizione del rapporto aureo venne fissata attorno al VI secolo a.C., ad opera della scuola pitagorica, nell'Italia meridionale. Fu scoperto da Ippaso di Metaponto. Il rapporto aureo vennee ricondotto allo studio del pentagono regolare. L'aura magica che i pitagorici associarono al numero 5, e a tutto ciò che vi fosse legato, risultava legata anche a considerazioni di tipo astrologico, in particolare al pianeta Venere, archetipo dell'amore e della vita, che nel suo percorso tra la Terra e il Sole disegna in effetti una stella a cinque punte.
Dal declino del periodo ellenistico passarono circa mille anni prima che la sezione aurea tornasse nuovamente a stimolare le menti dei matematici, che in essa rilevarono anche proprietà di natura algebrica, oltre che geometrica.
Nel 1202 Leonardo Fibonacci pubblicò il suo Liber abaci, il libro col quale si diffonderanno in Europa le cifre indo-arabe, semplificando le modalità di calcolo nelle operazioni quotidiane. Il rinnovato interesse per il numero aureo in epoca rinascimentale può essere dovuto ad un altro libro, il De divina proportione di Luca Pacioli , pubblicato a Venezia nel 1509 e corredato di disegni di solidi platonici di Leonardo da Vinci, nel quale si divulgò, a una vasta platea di intellettuali, l'esistenza del numero e di alcune delle sue numerose proprietà, fino ad allora appannaggio soltanto di una più ristretta cerchia di specialisti. Nel libro, la si definiva una proporzione divina, dove l'aggettivo «divina» era dovuto ad un accostamento tra la proprietà di irrazionalità del numero e l'inconoscibilità del divino per mezzo della ragione umana:
« Commo Idio propriamente non se po diffinire ne per parolle a noi intendere, così questa nostra proportione non se po mai per numero intendibile asegnare, né per quantità alcuna rationale exprimere, ma sempre fia occulta e secreta e da li mathematici chiamata irrationale. »
La relazione tra il numero aureo e la serie di Fibonacci, rimasta ignota anche a Luca Pacioli, fu scoperta nel 1611 da Keplero, come rilevano i seguenti passi di una sua lettera:
« ... questa proporzione [...] che gli odierni [...] chiamano divina [...] è congegnata in modo tale che i due termini minori di una serie nascente presi insieme formino il terzo, e gli ultimi due addizionati, il termine [a loro] successivo, e così via indefinitamente, dato che la stessa proporzione si conserva inalterata [...] più si va avanti a partire dal numero 1, più l'esempio diventa perfetto. Siano 1 e 1 i termini più piccoli [...] sommandoli, il risultato è 2; aggiungiamo a questo il precedente 1, e otteniamo 3; aggiungiamogli 2, e otteniamo 5; aggiungiamogli 3, e abbiamo 8; 5 e 8 danno 13; 8 e 13 danno 21. Come 5 sta a 8, così, approssimativamente, 8 sta a 13, e come 8 sta a 13 così, approssimativamente, 13 sta a 21. »
Keplero praticamente scoprì che il rapporto fra due numeri consecutivi della successione di Fibonacci approssimava via via, sempre più precisamente, il numero aureo. Ma Keplero, quale astronomo, non era tanto interessato a dimostrare la fondatezza della sua scoperta, anzi piuttosto a ricercarla nell'architettura dell'universo, che lui invece osservava, nelle sue proprietà "divine"; non a caso concettualizzò un modello eliocentrico in cui le orbite dei pianeti erano inscritte e circoscritte in solidi platonici e di conseguenza legate alla divina proporzione. La dimostrazione fu fornita un secolo più tardi dal matematico Robert Simson e ulteriormente sancita dalla scoperta della formula generatrice della serie di Fibonacci, la formula di Binet.
La prima testimonianza scritta rintracciabile sembra risalire solo al 1835 nel libro Die Reine Elementar-Mathematik, in cui il matematico tedesco Martin Ohm scrive «è chiamata "sezione aurea"», specificando così di non esserne l'ideatore ma di usare un'espressione già discretamente diffusa. La nuova denominazione si diffuse largamente nei primi anni dell'Ottocento, trovando sempre maggiori riferimenti nelle opere scritte, prima in tedesco e poi in lingua inglese.
La sezione aurea si diffonde nell'Ottocento anche nel campo dell'arte, comparendo nelle opere di molti artisti in cui contrariamente al passato, se ne può affermare la presenza per ammissione dello stesso artista; la proporzione aurea, in particolare il rettangolo aureo, viene considerata un canone estetico "naturale", per la sua ricorrenza in natura e che i le sue proporzioni conferissero uno straordinario senso di armonia in tutto ciò che la possedeva.
L'ossessione per la sezione aurea produsse anche serie di ricerche di contenuti originali, come quelle volte a rintracciarne connessione nei mercati azionari, con quella che divenne nota come la teoria delle onde di Ralph Nelson Elliott, o a ritrovare utilizzi pratici surreali come il Modulor.
Sul versante prettamente matematico, nel XX secolo l'avvento del computer e il potenziamento delle capacità di calcolo hanno permesso di ottenere stime sempre più precise del numero irrazionale che rappresenta il rapporto aureo, altrimenti incalcolabile con i soli strumenti della mente umana; il primo tentativo venne effettuato nel 1966 da M. Berg con un IBM 1401, calcolandolo fino alla 4599ª cifra, e successivamente, sempre nello stesso anno, fino alla decimilionesima.
La sezione aurea (\Phi) è forse il numero più affascinante della storia della matematica. Come \pi (altro numero la cui onnipresenza in matematica e in fisica ha sempre generato grande fascino) \Phi è stato introdotto in geometria ma poi, inspiegabilmente, ha fatto capolino più volte in contesti molto diversi tra loro, ma sempre ugualmente fondamentali. La sua ricorrenza in ambito matematico non è la sola cosa a rendere la sezione aurea un numero tanto significativo e profondo. Molto più sorprendente è la sua ubiquità in natura: la sezione aurea compare in un’enorme varietà di piante, animali, fenomeni biologici, statistici e fisici. E come se ciò non fosse sufficiente, legate alla sezione aurea esiste anche una serie di forme geometriche che l’occhio umano percepisce come particolarmente belle e che sono state per questo usate da pittori, sculturi e architetti di ogni epoca. Possiamo dire che per certi versi la sezione aurea assurge a simbolo del collegamento inconfutabile, stupefacente eppure inspiegabile tra matematica e realtà.
La botanica offre alcuni casi di particolare fascino. Quasi tutti i fiori mostrano infatti 3 o 5 o 8 o 13 o 21 o 34 o 55 o 89 petali: ad esempio i gigli ne hanno 3, i ranuncoli 5, la calendula 13, l’astro 21, le margherite di solito ne hanno 34 o 55 o 89; tutti numeri di Fibonacci. Un altro bellissimo esempio si ha guardando il disco interno di un girasole. Le piccole inflorescenze che vi si trovano, che si trasformano poi in semi, sono disposte in un particolare pattern che può essere ottenuto avvolgendo due spirali di senso opposto, orario e antiorario. La ragione per cui l’angolo aureo è che questa disposizione permette una migliore occupazione della superficie disponibile.
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LA SEZIONE AUREA |
